Nel panorama universitario italiano l’insegnamento di Analisi Matematica I è dedicato allo studio approfondito delle funzioni di una variabile reale, con particolare attenzione alle nozioni di limite e continuità, al calcolo differenziale e a quello integrale.
Il corso di Analisi Matematica II è una naturale prosecuzione di quello di Analisi Matematica I, di cui è per certi aspetti un’estensione, ed è l’ambiente in cui si affrontano le stesse nozioni per le funzioni di più variabili, sia a valori reali che vettoriali. Si studiano quindi i concetti di limite, continuità, derivabilità, integrale, ma con alcune differenze sostanziali dovute all’ambiente geometrico multidimensionale, che comporta spesso un’incremento della complessità dei concetti e delle tecniche.
Questo volume contiene gli argomenti dell’insegnamento di Analisi Matematica II così come sono presentati dall’autore nelle lezioni teoriche dell’omonimo corso. I concetti sono introdotti in modo rigoroso, accompagnati da molti esempi e figure che ne facilitano la comprensione, e l’esposizione è fluida, per la scelta dell’autore di omettere gran parte delle dimostrazioni dei teoremi enunciati.

Prefazione

1 Lo spazio Rn
1 Nozioni preliminari
2 Cenni di topologia di Rn

2 Funzioni di più variabili
1 Funzioni di più variabili a valori reali
2 Funzioni di più variabili a valori vettoriali

3 Limiti e continuità per funzioni di più variabili
1 Limite di funzione
2 Funzioni continue

4 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
1 Derivate parziali e differenziale
1.1 Derivate di ordine superiore
2 La formula di Taylor
3 Massimi e minimi liberi
3.1 Nozioni e risultati principali
3.2 Ricerca dei punti di massimo e di minimo locale liberi
4 Curve parametriche
5 Superfici parametriche

5 Calcolo degli integrali multipli
1 Breve introduzione teorica
2 Calcolo degli integrali doppi
3 Calcolo degli integrali tripli
4 Applicazioni dell’integrale multiplo
4.1 Massa, baricentro, momento d’inerzia
4.2 Volume di un solido di rotazione

6 Integrali curvilinei
1 Integrale curvilineo di I specie
2 Integrale curvilineo di II specie (o integrale di linea)

7 Integrali di superficie
1 Integrale superficiale (o di superficie) di una funzione reale
2 Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

8 Teoremi di Green, Stokes, Gauss
1 Teorema di Green
2 Teorema di Stokes
3 Teorema di Gauss

9 Campi vettoriali conservativi
1 Campi conservativi e potenziali
1.1 Ricerca dei potenziali di un campo vettoriale conservativo
1.2 Approfondimenti: definizione generale di insieme semplicemente connesso

10 Serie numeriche
1 Richiami sulle successioni numeriche
2 Nozioni preliminari
3 Criteri di convergenza
3.1 Criteri di convergenza per tutte le serie
3.2 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi
3.3 Criteri di convergenza per le serie a termini di segno variabile
4 Riordinamento di una serie
5 Prodotto di due serie
6 Serie complesse

11 Successioni di funzioni
1 Nozioni preliminari
2 Passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata

12 Serie di funzioni
1 Nozioni preliminari
1.1 Integrazione e derivazione termine a termine
2 Serie di potenze
2.1 Somma e prodotto di serie di potenze
2.2 Integrazione e derivazione per le serie di potenze
2.3 Serie di Taylor
2.4 Serie di potenze complesse
3 Serie di Fourier
3.1 Convergenza della serie di Fourier
3.2 Serie di Fourier complesse

A Elenco dei Simboli

B Superfici notevoli

Sergio Lancelotti è nato a Brescia nel 1967; nel 1990 ha conseguito la laurea in Matematica e nel 1996 il titolo di dottore di ricerca in Matematica. Dal 1998 è ricercatore in Analisi Matematica presso il Politecnico di Torino, dove insegna Analisi Matematica I e Analisi Matematica II.